zainul

Gerhana bulan Juni 2011 dan jarak bumi-bulan

In Catatan fisika, Catatan matematika on Juni 20, 2011 at 3:26 pm

Salah satu cara mengukur jarak bumi-bulan adalah melalui pengamatan gerhana bulan. Orang Yunani sudah mengetahui ini sejak jaman dahulu kala.

Terlihat dari bumi, ukuran bulan kira-kira sama dengan ukuran matahari, dengan diameter sudut kira-kira θ0=0.53 derajat. Misalnya sebuah koin berdiameter 2 cm digunakan untuk menghalangi cahaya matahari atau bulan. Jika koin tersebut diletakkan lebih jauh dari jarak 1/tan(0.53/2) cm=2×108 cm=216 cm dari mata, maka koin tersebut tidak dapat sepenuhnya menutupi matahari atau bulan. Daerah gelap karena cahaya terhalang oleh koin membentuk kerucut, makin jauh dari uang koin maka ukuran bayangannya semakin kecil sampai pada jarak 108 kali diameter koin bayangan dari koin menjadi titik.

(Bayangan koin, θ0 adalah diameter sudut matahari terlihat dari bumi. )

(Fenomena umbra, penumbra dan antumbra. Gambar diambil dari sini)

Informasi di atas dapat digunakan untuk mengetahui ukuran bayangan bumi pada jarak tertentu dari bumi. Sebaliknya, informasi tersebut juga dapat digunakan untuk mengetahui jarak bumi-bulan jika ukuran bayangan bumi diketahui.

Berikut penampakan bulan setelah keluar dari bayangan bumi.

(gambar kiri diambil dari sini. Gambar kanan: bulan dan bayangan bumi (rekonstruksi penumbra, lingkaran merah))

Lintasan bulan ketika melalui bayangan bumi, lengkap dengan waktunya dapat diilustrasikan sebagai berikut

(gambar diambil dari sini)

Pusat bulan menempuh garis hitam pada gambar dalam waktu 2 jam. Dari gambar di atas diperoleh perbandingan panjang lintasan bulan dalam selang waktu 2 jam dan diameter umbra yaitu 114:144.

Dalam kerangka acuan dengan pusat bumi dan matahari diam, bulan mengitari bumi dalam selang waktu 29 hari 12 jam 44 menit.  Ini disebut sebagai periode synodic. Untuk menyederhanakan perhitungan dapat diasumsikan bahwa orbit bulan berbentuk lingkaran. Selama satu periode synodic  T,  bulan menempuh jarak 2πR, dengan R adalah jarak bumi-bulan. Panjang lintasan yang ditempuh bulan dalam selang waktu t adalah

d_{\rm t}=\frac{2\pi R t}{T}

Sementara itu, diameter umbra pada jarak R dari bumi adalah

d_{\rm umbra} =2R_b-2R \tan(\theta_0/2)

dengan Rb adalah jari-jari bumi. Dari dua persamaan di atas dan perbandingan panjang lintasan bulan dalam selang waktu t terhadap diameter umbra diperoleh  persamaan berikut untuk jarak bumi-bulan

R=\frac{R_b}{\left(\frac{d_{\rm umbra}}{d_t}\frac{\pi t}{T}+ \tan (\theta_0/2)\right)}.

Jari-jari bumi diketahui sebesar 6370 km. Untuk t=2 jam, T=708.7 jam, θ0=0.53 derajat, dan dt/dumbra=114/144, diperoleh jarak bumi-bulan 401.301 km. Tidak terlalu buruk bukan? Ketidakakuratan perhitungan di atas berasal dari asumsi bahwa lintasan bulan berbentuk lingkaran dengan kecepatan orbit bulan yang konstan.

Cara lain menghitung jarak bumi-bulan adalah dengan membandingkan diameter sudut bulan terhadap diameter sudut lingkaran umbra. Dari gambar di atas diperoleh perbandingan 52:144. Diperoleh persamaan

\frac{2R_b-2R\tan(\theta_0/2)}{2R\tan(\theta_0/2)}=\frac{144}{52}

R=\frac{52\times R_b}{196\tan(\theta_0/2)}=370.229 km,

yang juga tidak terlalu buruk.

Masa kini, jarak bumi-bulan dapat diperoleh dengan cara menyorotkan sinar laser pada beberapa cermin yang telah dipasang di bulan. Dengan mengetahu waktu tempuh cahaya bolak-balik dari bumi-bulan-bumi dapat diukur jarak bumi-bulan. Diketahui bahwa jarak terdekat bumi-bulan adalah 362.570 km dan jarak terjauhnya 405.410 km.

Perhitungan jarak bumi-bulan dari pengamatan gerhana bulan di atas memerlukan informasi mengenai jari-jari bumi. Lalu bagaimana mengetahui jari-jari bumi? Eratosthenes, orang Yunani yang hidup di Alexandria, Mesir, pada abad ke 3 sebelum Masehi mengetahui bahwa pada saat tertentu di Syene (Aswan), matahari tepat berada di atas kepala. Pada saat yang sama di Alexandria, di utara Syene, matahari membentuk sudut α=7.5 derajat terhadap vertikal. Dengan mengetahui jarak Syene-Alexandria dapat diketahui jari-jari bumi,

R_b=\frac{d_{\rm Al-Sy}}{\alpha}

(gambar diambil dari sini)

Cerdas bukan? Jadi, apa yang anda lakukan saat gerhana bulan yang lalu? Kalau saya sih ketiduran.

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: