zainul

Massa atau energi? Bagian II.

In Catatan fisika on Maret 28, 2011 at 4:25 pm

EM dalam kotak.

Gelombang elektromagnetik punya massa gak sih? Di sini akan saya demonstrasikan bagaimana gelombang EM yang terkurung dalam kotak (rectangular cavity) punya massa.

Ngapain sih mikir yang begini-beginian? Pikirkan yang ada manfaatnya gitu. Ini ada manfaatnya kok. Pemanas microwave tidak lain dan tidak bukan adalah sistem gelombang EM di dalam kotak. Jadi apa tadi manfaatnya?

Untuk meringankan beban hidup, tinjau gelombang EM di antara dua pelat konduktor sejajar yang terpisah dengan jarak L. Pelat konduktor ini luasnya tak berhingga dan orientasinya paralel bidang-yz. Kalau gitu bukan EM dalam kotak dong? Biarin, yang penting gelombang EM-nya terperangkap dalam arah-x. Selanjutnya akan tetap saya sebut sebagai kotak.

Anggap juga gelombang EM tidak merambat ke arah-y atau ke arah-z. Arah medan listrik paralel pelat konduktor. Solusi untuk gelombang yang merambat ke arah-y atau arah-z (wave guide) dapat diperoleh dengan transformasi Lorentz. Anggap dinding dalam kotak adalah konduktor ideal. Gelombang EM tersebut akan pantul memantul di dalam kotak membentuk gelombang berdiri (standing wave). Akibatnya hanya panjang gelombang tertentu yang dibolehkan, yaitu yang memenuhi persamaan berikut

k_n L=\pi n

dengan n,=1,2,3,\ldots,  k_n=2\pi/\lambda_n adalah bilangan gelombang dan \lambda_n adalah panjang gelombang.  Frekuensi gelombang EM yang bersesuaian adalah \nu_n=c/\lambda_n.

Fungsi gelombang dapat dinyatakan sebagai jumlahan gelombang yang bergerak ke kanan dan ke kiri.

f_R(x,t)=A \sin\frac{\pi n_x}{L}\left(x-ct\right)

f_L(x,t)=-A \sin\frac{\pi n_x}{L}\left(-x-ct\right)

Superposisinya adalah

f(x,t)=f_L(x,t)+f_R(x,t)=2A\sin\left(\frac{\pi n_x}{L}x\right)\cos\left(\frac{\pi n_x}{L}ct\right)

yang membentuk simpul pada dinding-dinding kotak.

Kuadrat amplitudo pada titik tertentu menyatakan rapat probabilitas menemukan foton pada titik tersebut.

Jika kotak di atas bergerak pada arah sumbu-x, seperti apa fungsi gelombang menurut pengamat yang diam?

Jika anda menjawab: Gelombang EM akan mengalami efek Doppler, maka anda berhak mendapatkan satu piring gedanken.

Gelombang yang merambat ke arah x positif teramati memiliki frekuensi

\nu_+=\nu_0\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}

sementara untuk gelombang yang merambat ke arah x negatif

\nu_-=\nu_0\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}

Misalnya kotak bergerak ke kanan dengan kecepatan v/c=0.6, fungsi gelombang dapat digambarkan sebagai berikut

Perhatikan bahwa kotak mengalami kontraksi panjang pada arah-x.

Berapa besar momentum dari gelombang EM di dalam kotak?

Untuk kotak yang diam, momentum gelombang EM yang merambat ke arah-x positif (negatif) adalah p_\pm=\pm E/2c dengan energi masing-masing E/2. Momentum resultan kedua komponen gelombang adalah nol, dan energi totalnya E.

Jika kotak bergerak ke arah-x positif dengan kecepatan v, maka melalui transformasi Lorentz diperoleh momentum p_{\pm}=\frac{\gamma E}{2c}(\beta\pm 1) dengan \beta=v/c dan \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}.  Resultan momentumnya menjadi p=p_++p_-=(E/c^2)\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} yang menunjukkan bahwa massa dari gelombang EM di atas adalah E/c^2. Sesuai dengan janji, ternyata gelombang EM dalam kotak memang memiliki massa. Hasil yang menunjukkan konsep kesetaraan massa dan energi.

Bagaimana jika kotaknya digerakkan pada arah-y atau arah-z. Gampang. Malah untuk lebih menyusahkan hidup, orientasi kotak dapat diputar dengan sudut \theta terhadap sumbu-z, kemudian kotaknya digerakkan ke arah-x. Momentum gelombang EM menjadi p^{\pm}_x=\frac{\gamma E}{2c}(\beta\pm \cos\theta) dan p^{\pm}_y=\pm \frac{E}{2c}\sin\theta. Diperoleh momentum resultan

p_x=\frac{E}{c^2}\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} dan p_y=0 seperti sebelumnya.

Untuk \theta=90^0, kedua pelat konduktor paralel bidang-xz. Superposisi gelombang EM menjadi f(x,y,t)=2A\sin{\frac{\pi n}{L}y}\cos\frac{\gamma\pi n}{L}(\beta x -ct) yaitu pandu gelombang yang merambat ke arah-x.

Untuk kotak 2D yang bergerak ke arah-x positif dengan kecepatan v=0.6 c, medan listrik (E_z) sebagai fungsi x dan y dapat digambarkan sebagai berikut

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: