zainul

Simetri “Conformal”

In Catatan fisika, Catatan matematika on April 1, 2011 at 6:00 pm

Pemahaman akan simetri sangat membantu dalam menyederhanakan perhitungan, dan sebagai penuntun mengapa proses tertentu terjadi dan yang lainnya tidak terjadi. Simetri juga berkaitan dengan hukum kekekalan. Misalnya, simetri rotasi menunjukkan kekekalan momentum sudut, simetri translasi menunjukkan kekekalan energi-momentum dan lain-lain. Hubungan  ini secara formal dinyatakan dalam teorema Noether.

Ada beberapa simetri (kontinu) yang penting:

Pertama, simetri rotasi. Jarak antara dua titik tidak akan berubah karena transformasi rotasi.

\Delta r^2=\Delta x^2 +\Delta y^2+ \Delta z^2

dengan \Delta x, \Delta y, \Delta z masing-masing adalah selisih jarak antara dua titik pada arah x, y, dan z. Setelah transformasi rotasi, apa yang disebut sebagai sumbu x,  sumbu y, atau sumbu z berubah. Tetapi, jarak \Delta r tidak berubah. Besaran yang tidak berubah setelah transformasi disebut besaran invariant. Untuk 3 dimensi, rotasi dapat dilakukan pada bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Dalam jargon fisika/matematika, ada 3 generator rotasi untuk 3 dimensi ruang. Untuk 2 dimensi ruang cuma ada 1 generator rotasi.

Kedua, simetri Lorentz (Boost). Kecepatan cahaya di ruang hampa selalu sama, tidak bergantung pada kecepatan pengamat relatif terhadap sumber cahaya. Pengamat yang bergerak mendekati sumber cahaya dengan kecepatan v tidak mengamati kecepatan cahaya sebesar  c+v, tapi tetap c. Tidak ada yang salah dengan aritmetika. Fenomena ini dapat dipahami jika kita meninggalkan pemahaman waktu yang absolut. Waktu itu relatif, setiap pengamat memiliki waktunya masing masing. Untuk transformasi Lorentz, besaran yang invariant dapat ditulis

\Delta s^2=\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2

dengan \Delta t menyatakan selisih waktu antara dua kejadian yang berbeda pada dua titik yang selisih jaraknya pada arah x, y, dan z adalah \Delta x, \Delta y, \Delta y. Pengamat lain yang bergerak relatif terhadap pengamat pertama akan mengamati selisih waktu dan selisih jarak yang berbeda. Tetapi, semua pengamat akan sepakat dengan besar \Delta s^2.

Anda-anda yang jeli akan menyadari bahwa rotasi ruang juga menjaga besaran \Delta s^2 invariant. Makanya, simetri Lorentz mencakup rotasi di dalamnya. Transformasi Lorentz yang bukan rotasi disebut sebagai Lorentz boost. Pengukuran t dan x bagi pengamat yang bergerak  searah sumbu-x akan berbeda dibanding pengamat diam, sementara pengukuran y dan z tidak berubah. Boost pada arah x dapat dipandang sebagai “rotasi” yang melibatkan t, yaitu “rotasi” pada bidang-xt . Selain itu, ada juga boost untuk bidang-yt dan bidang-zt. Totalnya ada 3 generator boost untuk 3 dimensi ruang. Boost tidak sama persis dengan rotasi ruang, perhatikan perbedaan tanda antara waktu  \Delta t^2 yang positif dan \Delta x^2 yang negatif pada definisi \Delta s^2 di atas. Makanya digunakan cosh dan sinh untuk boost, bukannya cos dan sin seperti pada rotasi.

Ketiga, simetri translasi. Transformasi translasi maksudnya,  x diganti menjadi x+a, atau y diganti y+b, atau z diganti z+c atau t diganti dengan t+d, dengan a, b, c, dan d adalah konstanta sembarang. Jika hukum fisika tidak berubah oleh transformasi ini, maka kita punya simetri translasi. Menurut teorema Noether simetri ini menunjukkan kekekalan energi dan momentum. Untuk 3 dimensi ruang dan 1 dimensi waktu ada 4 generator translasi.

Keempat, simetri skala atau dilatasi. Transformasi skala maksudnya \vec r menjadi \lambda \vec r, dan  t menjadi \lambda t. Semuanya dengan \lambda yang sama.

Jika alam sepenuhnya simetrik terhadap transformasi skala ini maka tidak akan ada spektrum partikel: Foton, Neutrino, Elektron, quark dan keadaan terikatnya (bound state) dengan massa yang berbeda-beda. Meskipun demikian, simetri skala dapat diamati pada kondisi-kondisi tertentu. Misalnya,  sistem di dekat titik kritis diagram fase.

Berikut adalah simulasi model Ising, yaitu model interaksi magnetik yang hanya memperbolehkan interaksi dengan tetangga terdekat.  Warna hitam dan putih menunjukkan arah orientasi momen magnet yang berbeda. Hanya dua orientasi yang diperbolehkan, up atau down. Empat gambar berikut adalah snapshot pada 4 skala yang berbeda. Salah satu gambar tercakup di dalam  gambar lainya, yang tercakup di dalam gambar lainnya lagi, yang juga tercakup pada gambar lain. Bisa bedakan skalanya gak?

(gambar diambil dari sini)

Dua transformasi rotasi yang berturutan dapat dinyatakan dalam  transformasi rotasi lainnya. Istilah matematikanya, himpunan generator rotasi membentuk himpunan tertutup aljabar Lie.  Himpunan generator boost saja, tidak tertutup. Ini bisa dilihat dari hubungan komutasi antara dua generator boost yang mesti dinyatakan dalam generator rotasi. Dengan kata lain, transformasi boost saja tidak membentuk group. Tetapi, himpunan generator boost dan generator rotasi (=himpunan generator Lorentz) tertutup. Himpunan generator translasi saja juga membentuk aljabar tertutup. Himpunan gabungan, generator rotasi, generator boost, dan generator translasi membentuk aljabar tertutup. Himpunan ini namanya group  Poincare.

Bagaimana jika generator skala digabungkan ke dalam himpunan generator Poincare? Ternyata himpunan ini gagal membentuk aljabar tertutup. Makanya kita butuh simetri yang kelima. Keseluruhannya membentuk group conformal.

Kelima, Simetri Special Conformal. Untuk memudahkan visualisasi, tinjau transformasi special conformal dalam 2 dimensi

\vec r'= \frac{\vec r-\vec a r^2 }{1-2\vec a \cdot \vec r+a^2 r^2}

Sekilas tidak begitu jelas apa yang transformasi ini lakukan. Transformasi ini dapat diuraikan menjadi, inversi yang dilanjutkan dengan translasi, yang dilanjutkan lagi dengan inversi.

Inversi dapat dituliskan sebagai berikut

\vec r''=\frac{\vec r}{r^2}

Transformasi ini memindahkan titik yang ada di luar sebuah lingkaran berjari-jari 1 ke dalam lingkaran, dan titik di dalam lingkaran ke luar.

Kemudian dilanjutkan dengan translasi

\vec r'''=\frac{\vec r}{r^2}-\vec a

Lalu diakhiri dengan inversi

\vec r'=\frac{\vec r'''}{{r'''}^2}=\frac{\vec r-\vec a r^2 }{1-2\vec a \cdot \vec r+a^2 r^2}.

Sebelum special conformal

Setelah special conformal

(gambar dari wikipedia)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: