zainul

Mengobati deret divergen

In Catatan matematika on April 16, 2011 at 11:19 pm

Permasalahan dalam hidup datang silih berganti. Misalnya ketika dihadapkan dengan deret yang divergen. Contohnya:

y(x)=\sum_0^\infty n! x^n = 1 + x + 2 x^2 + 6 x^3 +\ldots .

Pilih  x=1, deretnya menjadi  1+1+2+6+…, yang terus membesar. Mungkin x=1 memang terlalu besar. Coba yang lebih kecil, x=0.1, deretnya menjadi 1+0.1+0.02 + 0.006+…. sepertinya mengecil. Jangan senang dulu, karena saat n=25, nilai n!xn, lebih besar dari 1 . Selanjutnya terus membesar. Untuk x<1 , nilai dari xn makin kecil untuk n makin besar, tetapi, nilai n! makin besar untuk n besar. Faktorial pada akhirnya akan selalu menang melawan pangkat. Rupanya deret di atas divergen untuk semua x yang tidak nol.

Jika benar anda menghadapi masalah deret divergen seperti deret di atas jangan berputus asa. Anda mungkin perlu cari tahu apa itu Borel summation di internet, atau lanjut baca tulisan ini. Di fisika, kadang-kadang deret divergenpun punya makna. Persoalan seperti ini dapat dijumpai pada solusi dengan metode perturbasi dari teori medan kuantum.

Misalnya kita punya deret \sum a_n. Ini bisa ditulis dalam bentuk yang kelihatannya berbeda meskipun tetap sama,

\sum_0^\infty a_n =\sum n! \frac{a_n}{n!}=\sum_0^\infty \frac{a_n}{n!} \int_0^\infty e^{-t} t^{n}                                           (1)

Pada persamaan pertama, suku ke-n dikalikan dengan 1 =n!/n!. Pada persamaan kedua,  n! dituliskan dalam bentuk integral (fungsi gamma).

Langkah selanjutnya adalah menukar urutan operasi integral dan operasi penjumlahan.

\sum_0^\infty a_n=\int_0^\infty e^{-t}\sum_0^\infty t^{n} a_n/n!                 (2)

Matematikawan akan protes. Tunggu! tidak boleh ditukar sembarangan gitu dong. Menukar urutan tidak halal jika deret \sum a_n t^n/n! divergen.

Baiklah kalau begitu. Tapi tidak terlalu buruk juga bukan? Prosedur tetap OK selama \sum a_n t^n/n! konvergen. Ada harapan. Deret mula-mula \sum a_n yang divergen, mungkin cuma representasi yang jelek dari fungsi yang sebenarnya berkelakuan baik.

Kembali ke deret sebelumnya, dengan mengikuti prosedur di atas diperoleh

\sum_0^\infty n! x^n=\int_0^\infty e^{-t} \sum_0^\infty (xt)^n                (3)

Kita punya integral dari deret geometri. Meskipun deret ini divergen untuk  |xt|>1, deret ini dapat kita nyatakan dalam bentuk

\sum_0^\infty (xt)^n=\frac{1}{1-xt}                         (4)

Sumber masalahnya adalah singularitas di titik xt=1, yang membatasi radius konvergensi (=1). Selain di titik tersebut, fungsi ini berkelakuan baik. Untuk x<0, integral (3) dapat diselesaikan. Diperoleh

y(x)=\frac{-e^{-\frac{1}{x}}}{x} \Gamma\left(0, -\frac{1}{x}\right).

Yaitu upper incomplete gamma function.

Fungsi ini menuju 1 untuk x menuju nol dari kiri. Tidak terlalu buruk bukan?

Referensi: [1][2], [3]

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: