zainul

Kecepatan lepas parasit

In Catatan fisika on April 27, 2014 at 8:51 pm

“Pergi kau ke luar angkasa!”

Rekan yang parasit tentu saja perlu dienyahkan dari muka bumi. Tapi sebelum merealisasikan hasrat tersebut, kita harus mengerti tentang kecepatan lepas (escape velocity). Parasit tersebut perlu dilemparkan dengan kelajuan yang tidak kurang dari

v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=11181 m/s                               (1)

Kelajuan yang kurang dari v_{esc}, akan menyebabkan si parasit kembali lagi. Pada persamaan di atas, G=6.67\times 10^{-11}\,{\rm Nm^2/kg^2} adalah konstanta gravitasi universal, M=5.97\times 10^{24} kg adalah massa bumi dan R=6.37\times 10^{6} m adalah jari-jari bumi.

lemparBayangkan melemparkan si parasit ke arah horisontal. Karena gravitasi ia akan jatuh ke bumi. Semakin besar kelajuan awal yang diberikan maka semakin jauh si parasit itu terlempar sebelum  mencapai tanah. Dengan kelajuan yang cukup, si parasit dapat dilemparkan sehingga ia mendarat di sisi yang berlawanan di permukaan bumi. Ini tidak cukup, meskipun cukup jauh, tetap saja di planet yang sama. Parasit adalah bahaya laten. Oleh karena itu, bulatkan tekadmu, parasit harus enyah dari muka bumi.

Orbit Melingkar

Jika diberi kecepatan yang pas, parasit dapat mengorbit bumi dengan orbit berbentuk lingkaran. Kecepatan orbit lingkaran tersebut dapat dituliskan

v_{circ}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=7906 m/s                         (2)

lingkarMari kita coba pahami apa yang terjadi. Gravitasi menarik si parasit ke pusat bumi, sehingga si parasit memiliki percepatan yang arahnya ke pusat bumi. Pada orbit melingkar, kelajuan konstan. Lalu bagaimana mungkin ada percepatan? Ingat bahwa percepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu. Meskipun kelajuan konstan, kecepatan tidak konstan. Ini karena kecepatan adalah besaran vektor, selain punya besar juga punya arah. Percepatan pada gerak melingkar muncul karena perubahan arah gerak bukan karena perubahan besar kecepatan (kelajuan). Tidak sulit untuk membuktikan dengan analisis vektor bahwa besar percepatan pada gerak melingkar adalah

a=\frac{v^2}{R}                                         (3)

yang arahnya ke pusat lingkaran. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal.

Besarnya gaya gravitasi menurut Newton berbanding lurus dengan perkalian antara massa dua benda yang berinteraksi, dalam hal ini antara si parasit dan bumi, dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak,

F=\frac{G M m}{R^2}                                (4)

dengan m adalah massa si parasit. Gunakan hukum 2 Newton:

F=m a                                                (5)

Baik gaya gravitasi F, maupun percepatan a, punya arah ke pusat lingkaran. Subsitusikan persamaan percepatan sentripetal (3) di atas dan persamaan gaya gravitasi (4) ke persamaan (5) akan diperoleh

\frac{G M m}{R^2}=m\frac{v^2}{R}            (6)

yang menghasilkan persamaan (2).

Jika parasit tersebut dilempar di permukaan bumi dengan kelajuan horisonal v_{circ} yang bernilai 7906 m/s, maka ia akan mengorbit dekat dari permukaan bumi (abaikan gesekan udara, gunung, lembah dan bangunan yang menghalangi). Misalnya si parasit di lempar ke timur, maka ia akan kembali lagi dari arah barat setelah 1.41 jam kemudian. Pembuktian periode orbit ini menjadi PR bagi pembaca (Tentu saja bumi juga berotasi, dan memberi kontribusi kelajuan 463 m/s ke timur, di equator. Jadi, untuk sedikit menghemat energi, ada baiknya si parasit dilempar ke timur dari equator).

Orbit bumi mengelilingi matahari dapat dianggap lingkaran. Persamaan (2) dapat digunakan untuk memperkirakan massa matahari, jika jarak bumi-matahari diketahui dan periode orbit bumi mengelilingi matahari diketahui. Pada persamaan (2), M menjadi massa matahari M_s=2\times 10^{30} kg, dan R menjadi jarak matahari-bumi R_s=1.5\times 10^{11} m, sehingga diperoleh kelajuan orbit bumi mengelilingi matahari

v_b=\sqrt{\frac{GM_s}{R_s}}=29822 m/s.                                (7)

Kenyataannya, orbit bumi mengelilingi matahari berbentuk ellips. Ketika bumi paling dekat dengan matahari kelajuannya lebih besar dari nilai di atas, sebaliknya ketika bumi paling jauh dari matahari kelajuannya lebih kecil dari nilai di atas.

Si parasit yang mengorbit bumi, masih terlalu mengkhawatirkan, karena terlalu dekat dari bumi. Kita harus berusaha lebih keras, supaya ia pergi jauh ke tak-berhingga.

Energi

Jika sebuah benda dilepas dari keadaan diam, dalam pengaruh gaya gravitasi bumi, maka benda tersebut akan bergerak ke pusat bumi menempuh garis lurus dengan kelajuan yang semakin membesar. Ini berbeda dengan gerak melingkar yang dibahas sebelumnya. Pada gerak melingkar, arah gaya selalu tegak lurus arah kecepatan sehingga pengaruh gaya hanya mengubah arah kecepatan tanpa mengubah besarnya. Hanya komponen gaya searah perpindahan yang mengubah besar kecepatan. Untuk itu, sangat berguna mendefinisikan kuantitas yang  bernama usaha, yaitu proyeksi gaya ke arah perpindahan kali perpindahan. Dalam notasi vektor, usaha dapat ditulis dalam bentuk perkalian dot antara vektor gaya \vec{F} dan vektor perpindahan d\vec{r}. Jika sepanjang lintasan benda, besar gaya atau arahnya berubah maka usaha perlu ditulis dalam bentuk integral

W_g=\int \vec{F}\cdot d\vec r                             (8)

Ganti \vec F pada integral di atas menjadi m\vec a, akan diperoleh

W_g=\int m\vec{a}\cdot d\vec r=\int_{r_0}^{r_1} m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot d\vec r=\int_{v_0}^{v} m \vec{v}\cdot d\vec{v}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}m{v_0}^2          (9)

setelah tanda sama dengan yang ketiga, telah digunakan definisi \vec v=\frac{d\vec r}{dt}. Kuantitas setelah tanda sama dengan yang keempat disebut sebagai energi kinetik.

E_k=\frac{1}{2}mv^2                           (10)

Pada orbit melingkar, arah kecepatan selalu tegak lurus dengan arah gaya gravitasi, sehingga usaha oleh gaya gravitasi sama dengan nol.

Untuk benda yang jatuh menuju bumi, usaha oleh gaya gravitasi menyebabkan energi kinetik bertambah. Sekarang, kita perlu mendefenisikan energi potensial yang berkaitan dengan usaha oleh gaya gravitasi. Lebih tepatnya, usaha melawan gaya gravitasi. Supaya benda dari tak-berhingga tidak bertambah cepat saat mendekati bumi, maka perlu diberikan gaya yang persis melawan gaya gravitasi. Besar usaha oleh gaya yang diberikan pada benda yang bergerak dari tak-berhingga menuju suatu titik berjarak r dari pusat bumi diperoleh dengan mengganti \vec{F} pada persamaan (8) menjadi \frac{GMm}{r^2} yang arah vektornya menjauhi pusat bumi, sehingga diperoleh

W=\int_{\infty}^{r} \frac{GMm}{r^2} dr=-\frac{GMm}{r}\big|_{\infty}^r=-\frac{GMm}{r}              (11)

Kuantitas setelah tanda sama dengan yang ketiga disebut sebagai energi potensial

E_p=-\frac{GMm}{r}           (12)

Dengan definisi ini, semakin dekat ke bumi maka energi potensial semakin rendah (semakin negatif), sebaliknya semakin jauh dari bumi energi potensial semakin tinggi. Selain itu, jika tidak ada gaya lain selain gaya gravitasi maka bertambahnya energi kinetik diiringi oleh berkurangnya energi potensial gravitasi begitu juga sebaliknya, sedemikian sehingga energi totalnya konstan. Ini disebut sebagai kekekalan energi.

Lalu berapa kelajuan minimum supaya si parasit yang dilempar dari permukaan bumi mampu mencapai tak-berhingga? Setidaknya ketika mencapai tak-berhingga si parasit kehilangan semua energi kinetiknya. Selain itu dari definisi energi potensial di (12), energi potensial di tak-berhingga sama dengan nol. Artinya, untuk mencapai tak berhingga, energi total si parasit setidaknya sama dengan nol. Dari kekekalan energi diperoleh

\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{R}= 0           (13)

yang menghasilkan persamaan (1).

lempar2

Gambar di atas menunjukkan lintasan si parasit jika dilemparkan pada jarak R dari pusat bumi ke arah horisontal. Kurang dari v_{esc}, si parasit akan mengorbit bumi dengan lintasan melingkar atau ellips. Jika kecepatan awal tepat sama dengan v_{esc}, si parasit akan menempuh lintasan parabola menuju ke tak-berhingga.

Third Cosmic Velocity

Persamaan (1) memberikan kecepatan untuk lepas dari pengaruh gravitasi bumi, ini biasa disebut sebagai first cosmic velocity. Lepas dari bumi saja tidak cukup. Bumi berada dalam tata surya, mengorbit matahari. Si parasit perlu dienyahkan tidak hanya dari bumi tapi juga dari tata surya ini. Kecepatan minimum (relatif terhadap bumi) untuk lepas dari pengaruh bumi dan matahari disebut sebagai third cosmic velocity. Tentunya ada juga second cosmic velocity, yaitu kecepatan minimum dari orbit bumi untuk lepas dari pengaruh matahari dengan mengabaikan gravitasi bumi.

Ada dua cara naif untuk memperoleh third cosmic velocity yang sepertinya saling bertentangan. Jika tidak teliti, sulit untuk mengetahui hasil mana yang lebih akurat.

Cara 1: Gunakan kekekalan energi pada kerangka inersial dengan acuan matahari

\frac{1}{2}m(v+v_b)^2-\frac{GM_sm}{R_s}-\frac{GMm}{R}=0                    (14)

Suku pertama adalah energi kinetik. Karena si parasit berada di bumi dan bumi bergerak dengan kelajuan v_b maka kecepatan parasit menurut acuan matahari adalah jumlahannya (v+v_b). Suku kedua adalah energi potensial dari interaksi gravitasi antara si parasit dan matahari. Suku ketiga adalah energi potensial interaksi gravitasi antara si parasit dan bumi. Persamaan (14) menghasilkan

v=\sqrt{2G\left(\frac{M_s}{R_s}+\frac{M}{R}\right)}-v_b=13810 m/s              (15)

Cara 2: Selesaikan bertahap, cari dulu kecepatan setelah lepas dari pengaruh gravitasi bumi. Selanjutnya kecepatan ini harus cukup untuk lepas dari pengaruh gravitasi matahari. Misalnya setelah lepas dari gravitasi bumi kelajuannya v_1 relatif terhadap bumi. Maka dari persamaan energi:

\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{R}=\frac{1}{2}m{v_1}^2               (16)

dalam kerangka acuan matahari, kelajuan setelah lepas dari gravitasi bumi adalah (v_1+v_b) yang harus cukup untuk lepas dari gravitasi matahari sehingga diperoleh

\frac{1}{2}m(v_1+v_b)^2-\frac{GM_sm}{R_s}=0                     (17)

Dari persamaan (16), (17) dan (7) diperoleh

v=\sqrt{G\left((3-2\sqrt{2})\frac{M_s}{R_s}+\frac{2M}{R}\right)}=16662 m/s          (16)

Hasil yang berbeda dengan hasil di persamaan (15). Salah satu dari kedua cara ini salah, tapi apa yang salah?

Aksi-Reaksi

Kedua cara di atas mengabaikan aksi-reaksi. Ketika si parasit bergerak menjauhi bumi, si parasit ditarik oleh bumi sehingga memperlambat kelajuannya, sebaliknya bumi juga ditarik oleh si parasit sehingga kelajuan bumi sedikit bertambah. Karena massa bumi jauh lebih besar, tarikan dari si parasit terhadap bumi praktis tidak mengubah kelajuan bumi, \Delta v_b\rightarrow 0. Tetapi pada perhitungan energi, perubahan yang kecil tersebut punya pengaruh yang seorde untuk perhitungan pada kerangka acuan matahari di cara 1, karena massa bumi besar dan kelajuan orbit bumi cukup besar. Koreksi akan muncul dalam bentuk, Mv_b\Delta v_b, yang tidak boleh diabaikan. Perubahan  kelajuan orbit bumi tidak berpengaruh pada perhitungan energi di kerangka acuan bumi pada cara 2, karena koreksi yang muncul dalam bentuk kuadrat dari perubahan kelajuan bumi, M(\Delta v_b)^2, yang kecil. Oleh karena itu cara 2, seharusnya memberi hasil yang lebih akurat.

Dengan memperhitungkan perubahan kelajuan bumi, persamaan energi pada kerangka acuan matahari menjadi:

\frac{1}{2}m(v+v_b)^2+\frac{1}{2}M{v_b}^2-\frac{GM_sm}{R_s}-\frac{GMm}{R}=\frac{1}{2}M{u_b}^2  (17)

dengan {u_b} adalah kelajuan akhir bumi.

Untuk memperoleh kelajuan akhir, diperlukan persamaan kekekalan momentum sudut terhadap matahari:

m(v+v_b)R_s+Mv_bR_s=Mu_b R_s+L                        (18)

Sisi sebelah kiri adalah momentum sudut sistem mula-mula, sedangkan sisi sebelah kanan adalah momentum sudut sistem akhir. Suku  L di sisi sebelah kanan persamaan adalah momentum sudut si parasit di tak-berhingga. Momentum sudut parasit di tak-berhingga tidak nol.

Meskipun kelajuan si parasit menuju nol, tetapi lengan momennya menuju tak-berhingga, sehingga perkaliannya berhingga. Lintasan si parasit setelah lepas dari gravitasi bumi tetapi masih dalam pengaruh gravitasi matahari berbentuk parabola, yang tidak punya asimptot sehingga lengan momennya menuju tak berhingga.

Untuk memperkirakan nilai L, tinjau ketika  si parasit sudah cukup jauh dari bumi sehingga pengaruh gravitasi bumi sudah menuju nol, tetapi masih dalam orbit berjari-jari R_s terhadap matahari. Karena pengaruh gravitasi bumi sudah cukup kecil maka torsi oleh bumi juga nol sehingga momentum sudut si parasit selanjutnya kekal, dengan nilai

L=mv_2 R_s                                          (19)

Kecepatan parasit v_2 dapat diperoleh dari persamaan energi

\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{GM_sm}{R_s}=0                    (20)

Persamaan (7), (17), (18), (19), dan (20), pada limit \frac{m}{M}\rightarrow 0  menghasilkan persamaan (16).

  1. Luar biasa Prof…kalau gagal, walaupun kecil sekali kemungkinannya konsul ke saya nanti di injeksi propopol dosis letal supaya parasit lepas selama-lamanya…hahahaha.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: